Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n为正整数）．
（1）证明：an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，并求数列的通项公式；
（2）若

cn

n+1

=

an

n

，Tn=c1+c2+…+cn，试比较（2n+1）T_n与5n的大小，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由Sn=-an-(

1

2

)n-1+2得Sn+1=-an+1-(

1

2

)n+2，两式相减化简得递推公式：an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，根据特点变形后构造等差数列{2ⁿa_n}，代入通项公式求出a_n；
（2）由（1）和条件求出cn=

n+1

2n

，根据特点利用错位相减法求出T_n，作差化简（2n+1）T_n-5n，转化为比较（2n+1）与2ⁿ的大小，先列举出前几项进行猜想，再用数学归纳法进行证明，一定要n=k时的结论；另外可以利用二项式定理和放缩法证明，要有放缩的目标．

解答：证明：（1）由Sn=-an-(

1

2

)n-1+2得，Sn+1=-an+1-(

1

2

)n+2，
两式相减得，an+1=-an+1+an+(

1

2

)n，即an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，
两边同除以(

1

2

)n+1得，2n+1an+1=2nan+1，
∴2n+1an+1-2nan=1，
把n=1代入Sn=-an-(

1

2

)n-1+2得，a₁=

1

2

，
∴数列{2ⁿa_n}是以1为首项和公差的等差数列，
则2ⁿa_n=n，即an=

n

2n

，
（2）由（1）得，

cn

n+1

=

an

n

=

1

2n

，则cn=

n+1

2n

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

   ①，

1

2

T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

               ②，
①-②得，

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

，
则（2n+1）T_n-5n=（2n+1）（3-

n+3

2n

）-5n
=

(6n+3)×2n-(2n+1)(n+3)-5n×2n

2n

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n

，
∴比较（2n+1）T_n与5n的大小等价于比较（2n+1）与2ⁿ的大小，
由2＜2+1=3，2²＜2×2+1=5，2³＞2×3+1=7，
2⁴＞2×4+1=9，…，
则猜想n≥3时，2ⁿ＞2n+1，证明如下：
①当n=3时，由上面验算知成立；
②假设当n=k（k≥3，k∈z）时，结论：2^k＞2k+1成立，
则当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2（2k+1）=4k+2
=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，猜想也成立，
综上知，对一切n≥3的正整数，2ⁿ＞2n+1恒成立．
另证法：当n≥3时，
2ⁿ=（1+1）ⁿ=

c

0 n

+c

1 n

+

c

2 n

+…+

c

n-1 n

+c

n n

≥

c

0 n

+c

1 n

+

c

n-1 n

+c

n n

=2n+2＞2n+1．

点评：本题是数列与不等式结合的综合题，考查了数列a_n与s_n的之间的转化，构造等差（等比）数列求通项公式，错位相减法求数列的和，数学归纳法等，综合性强、难度大．