Question

【题目】设函数（是自然对数的底数）.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若在 内无极值，求的取值范围；

（3）设，求证： 。

Answer 1

【答案】（1）在， 单调递增，在单调递减（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）先对函数求导，再运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解；（2）先将在问题进行转化，再分离参数，构造函数运用分类整合思想及导数知识分析求解；（3）依据题设条件运用数学归纳法进行推证：

解：（1）当时，

所以

当时， 当时， ；

当时，

故在， 单调递增，在单调递减

（2）若在内无极值，则在上单调，

又

①若在上递减，则，对恒成立，于是有

，令，

下面证明在上单调递增：

令，则

当时， 单调递减，

在单调递增。

当时，由是增函数，得。

由，得；

②若在上单调递增，则，对恒成立，于是

，当时，由得，从而增函数

，这样。综上得

（3）用数学归纳法证明 ①当时， ，不等式成立；

②假设时不等式成立，即，

当时，令

显然，由归纳假设， 对成立，

所以 在上单调递增，当时， ，即当

时，不等式也成立。

综合①②时，不等式成立。