Question

过抛物线y²=4ｘ的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

Answer 1

解析:抛物线y²=４x的准线与对称轴的交点为（-1，0）

设直线MN的方程为y=k（x+1）.

由

得k²x²+2（k²-2）x+k²=0.

∵直线与抛物线交于M、N两点,

∴Δ=４（k²-2）²-４k⁴＞0,

即k²＜|k²-2|，k²＜1，-1＜k＜1.

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），抛物线焦点为F(1，0)

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点,

∴MF⊥NF.∴,

即y₁y₂+x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0.

又，x₁x₂=1,

y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁、y₂同号,

∴.

解得k²=.∴k=±,

即直线的倾斜角为arctan或π- arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点