Question

已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有有理项.

Answer 1

分析:依条件可得n的方程求n,然后写出通项T_r+1,去讨论常数项和有理项对r的限制.

解:依题意,前三项系数的绝对值是1,

(),()²,且2·=1+()²,

    即n²-9n+8=0,

∴n=8(n=1舍去).

∴T_r+1=^8-r()^r=()^r·=(-1)^r·.

(1)若T_r+1为常数项,当且仅当=0,即3r=16.

∵r∈Z,

∴这不可能.

∴展开式中没有常数项.

(2)若T_r+1为有理项,当且仅当为整数,

∵0≤r≤8,r∈Z,

∴r=0,4,8,

    即展开式中的有理项共有三项,它们是

T₁=x⁴,x,.

点评:此类问题一般由通项公式入手分析,要注意系数和二项式系数,常数项和有理项的概念区别.