Question

 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

（1）椭圆的标准方程是（2）存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.

解析:

(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.

设椭圆的标准方程是.

.

椭圆的标准方程是

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.

设M,N两点的坐标分别为

联立方程: 

消去整理得, 

有

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,

所以,,

即

所以,

即

得

所以直线的方程为,或.

所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.