Question

已知是函数的一个极值点，其中．

（1）与的关系式；

（2）求的单调区间；

（3）当时，函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于，求的取值范围．

 

Answer 1

（1） ；（2） 的增区间为，减区间为；（3） ．

【解析】

试题分析：（1）求出，因为是函数的一个极值点，所以得到即，求出

与的关系式；（2）令，求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（3）

函数图像上任意一点的切线斜率恒大于即代入得到不等式即，又因为，分和，，求出的最小值．要使恒成立，即要，解出不等式的解集求出的取值范围．

试题解析：（1）因为是函数的一个极值点，

所以即．

（2），

因为，所以．所以的增区间为，减区间为．

（3）由题意得：，在时恒成立．

令，因为，所以 解得：．

考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．