Question

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x其中e是自然数的底数，a∈R．
（Ⅰ）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，求使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解的所有整数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e^x＞0，f（x）＞0可化为ax²+x＞0，在a＜0时，解关于x的不等式ax²+x＞0即可；
（Ⅱ）f（x）在[-1，1]上是单调增函数，则f，（x）≥0在[-1，1]上恒成立；讨论a=0、a＞0、a＜0时f，（x）的情况，求出a的取值范围；
（Ⅲ）a=0时，方程为xe^x=x+2，由e^x＞0，知x≠0，原方程化为e^x-

2

x

-1=0；设h（x）=e^x-

2

x

-1，求h（x）在x≠0时的零点所在的区间，从而确定整数k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵e^x＞0，∴当f（x）＞0时即ax²+x＞0，
又∵a＜0，∴原不等式可化为x（x+

1

a

）＜0，
∴f（x）＞0的解集为（0，-

1

a

）；
（Ⅱ）∵f（x）=（ax²+x）e^x，
∴f，（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f，（x）=（x+1）e^x，
∵f，（x）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取“=”，
∴a=0满足条件；
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
∵△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
∴g（x）=0有两个不等的实根x₁、x₂，
不妨设x₁＞x₂，因此f（x）有极大值和极小值；
若a＞0，∵g（-1）•g（0）=-a＜0，∴f（x）在（-1，1）内有极值点，∴f（x）在[-1，1]上不单调；
若a＜0，则x₁＞0＞x₂，∵g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]单调递增，由g（0）=1＞0，
∴

g(1)≥0 g(-1)≥0

即

3a+2≥0 -a≥0

，∴-

2

3

≤a≤0；
综上可知，a的取值范围是[-

2

3

，0]；
（Ⅲ）当a=0时，方程f（x）=x+2为xe^x=x+2，
∵e^x＞0，∴x=0不是原方程的解，
∴原方程可化为e^x-

2

x

-1=0；
令h（x）=e^x-

2

x

-1，
∵h，（x）=e^x+

2

x2

＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）时恒成立，
∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调增函数；
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h（-3）=e^-3-

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
∴方程f（x）=x+2有且只有两个实根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以，整数k的所有值为{-3，1}．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性，求函数的最值以及求函数的零点等知识，是较难的综合题．