Question

已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.

Answer 1

活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨.

解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)

=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)

=asin(π+α)+bcos(π+β)

=-asinα-bcosβ

=-(asinα+bcosβ),

∵f(2 003)=-1,∴asinα+bcosβ=1.

∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)

=asinα+bcosβ=1.

点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+bcosβ=1，它是联系已知和未知的纽带.