Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n=，{b_n}为等差数列，且a₁=b₁，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（）-（ ）=，
经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b₁=a₁=1，，
又因为{b_n}为等差数列，所以公差d=2，∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1，
故数列{a_n}和{b_n}通项公式分别为：，b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以+（2n-1）•2^n-1 ①
①×2得+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ ②
①-②得：-（2n-1）•2ⁿ
==1+2ⁿ⁺¹-4-（2n-1）•2ⁿ=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和．
分析：（Ⅰ）由可求数列{a_n}的通项公式，进而可求数列{b_n}通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故可用错位相减法来求数列的前n项和．
点评：本题为数列的求通项和求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题．