Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ） 证明：不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；
（Ⅱ） 判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点；
（Ⅱ）直线l被圆C截得的弦长的最长时，直线过圆心；直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求m的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．

解答：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
令

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得

x=3 y=1

，∴直线l恒过定点A（3，1）
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25
∴A在圆内，∴不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；
（Ⅱ）解：直线l被圆C截得的弦长的最长时，直线过圆心，
直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l
∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，圆心（1，2），半径为5
∴CA的斜率为

2-1

1-3

=-

1

2

，
∴l的斜率为2
∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率为-

2m+1

m+1

∴-

2m+1

m+1

=2
∴m=-

3

4

∵|CA|=

4+1

=

5

∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2

25-5

=4

5

．

点评：本题考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．