题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为M(
，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，
]，求f（x）的最值；
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x=
对称，求函数g（x）的单调增区间．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，
| π |
| 12 |
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线x=
| π |
| 12 |
分析：（1）由最低点的坐标求得A=2，根据周期求出ω，把点的坐标代入解析式求出∅，即得函数的解析式．
（2）先求出2x+
∈[
，
]，故当2x+
=
时，f（x）取得最小值1；f（x）取得最大值
．
（3）由题意得 g(x)=f(
-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ可得x的范围，即得g（x）的单调增区间．
（2）先求出2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
（3）由题意得 g(x)=f(
| π |
| 6 |
解答：解：（1）由最低点为M(
，-2) 可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为
得
=
，即T=π，ω=
=
=2．
由点M(
，-2)在图象上的2sin(2×
+φ)=-2，即sin(
+φ)=-1，
故
+φ=2kπ-
，k∈Z，∴φ=2kπ-
，又φ∈(0，
)，
∴φ=
，故f(x)=2sin(2x+
)．
（2）因为 x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，所以当2x+
=
时，即x=0时，f（x）取得最小值1；当2x+
=
，即x=
时，f(x)取得最大值
．
（3）由题意得 g(x)=f(
-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得 kπ-
≤x≤kπ，所以g（x）的单调增区间是[kπ-
，kπ]，k∈Z．
| 2π |
| 3 |
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为
| π |
| 2 |
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2π |
| T |
| 2π |
| π |
由点M(
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
故
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 11π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴φ=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）因为 x∈[0，
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 3 |
（3）由题意得 g(x)=f(
| π |
| 6 |
可得 kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域、单调性、周期性，求y=Asin（ωx+∅）的解析式，求函数g（x）的单调增区间，
是解题的难点．
是解题的难点．
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