Question

函数f（x）=log_a（x²-4ax+3a²），0＜a＜1，当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：利用对数函数的单调性，将问题转化为a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

对x∈[a+2，a+3]恒成立，利用最值法，建立不等式组，从而可求a的取值范围．

解答：解：f（x）=log_a（x²-4ax+3a²）=log_a（x-3a）（x-a）
∵|f（x）|≤1恒成立，
∴-1≤log_a（x-3a）（x-a）≤1                   …（2分）
∵0＜a＜1．
∴a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

对x∈[a+2，a+3]恒成立．…（5分）
令h（x）=（x-3a）（x-a），其对称轴x=2a．
又2a＜2，2＜a+2，
∴当x∈[a+2，a+3]时，h（x）_min=h（a+2），h（x）_max=h（a+3）．…（8分）
∴

a≤h(x)min， 1 a ≥h(x)max

∴

a≤4-4a 1 a ≥9-6a

 
∴0＜a≤

9- 57

12

．…（12分）

点评：本题考查恒成立问题，考查对数函数的性质，考查解不等式，考查函数的最值，正确转化是解题的关键．