Question

【题目】设数列的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、成等比数列，则称函数为“型”数列.

（1）若是“型”数列，且，，求的值；

（2）若是“型”数列，且，，求的前项和；

（3）若既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.

Answer 1

【答案】(1)2；(2) (3)见证明

【解析】

（1）根据已知是“型”数列，即成等比数列，那么可知是等比数列，由条件可直接求出，进而得的值；（2）当n为奇数时，当n为偶数时，根据已知可计算出，由此得到；（3）先写出时的“型”数列和“型”数列，公比分别为和，再写出和时的“型”数列，公比分别为和，根据数列中的公共项可得公比之间的关系，再由时的3个“型”数列的通项公式，可推得是等比数列。

解：（1）由是“”数列，所以成等比，所以成等比数列，且公比，

则

（2）由是“”数列，所以成等比，所以当为奇数时：；

由是“”数列，所以成等比，所以当为偶数时：；

（3）由是“”数列，所以成等比，

设其公比为，又是“”数列，则成等比数列，设其公比为，同理，设的公比为，的公比为（。

那么，所以。

当时，，

，

。

综上得：，，所以是等比数列