Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：x+2y-4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把x²+y²-2x-4y+m=0变成圆的标准方程根据半径大于0得到m的取值范围；
（2）先把直线与圆的方程联立消去y，因为OM⊥ON得到x₁x₂+y₁y₂=0，然后利用根于系数的关系求出m即可．

解答：解：（1）配方得（x-1）²+（y-2）²=5-m，所以5-m＞0，即m＜5，
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x+2y-4=0 x2+y2-2x-4y+m=0

得5x²-16x+m+8=0，
因为直线与圆相交于M、N两点，所以△=16²-20（m+8）＞0，即m＜

24

5

，
所以x₁+x₂=

16

5

，x₁x₂=

m+8

5

，
y₁y₂=

1

4

（4-x₁）（4-x₂）=4-（x₁+x₂）+

1

4

x₁x₂=

4

5

（m+9），
代入解得：m=-

44

5

满足m＜5且m＜

24

5

，所以m=-

44

5

．

点评：此题是一道直线与圆的方程的综合题，主要考查学生对圆标准方程的认识，会利用根与系数的关系解决数学问题．