Question

若f(x)=loga(ax2-ax+

1

2

)在[1，

3

2

]上恒正，则实数a的取值范围是

(0，

2

3

)

．

Answer 1

分析：对底数进行分类讨论，将对数值恒正，转化为真数与1的比较，由此可求实数a的取值范围．

解答：解：若a＞1，则问题等价于ax2-ax-

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因为对于的二次函数y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上单调递增，所以1-1-

1

2

＞0，不成立；
若0＜a＜1，则问题等价于ax2-ax-

1

2

＜0，且ax2-ax+

1

2

＞0在[1，

3

2

]上恒成立，
因为对于的二次函数y=ax2-ax-

1

2

在[1，

3

2

]上单调递增，
所以

9

4

a-

3

2

a-

1

2

＜0，解得a＜

2

3

；
函数y=ax2-ax+

1

2

在[1，

3

2

]上单调递增，所以1-1+

1

2

＞0成立，
综上，0＜a＜

2

3

故实数a的取值范围是(0，

2

3

)
故答案为：(0，

2

3

)

点评：本题考查对数函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．