Question

（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与

所成角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）要证面面垂直，需要证线面垂直，即证平面或⊥平面；

又需利用线线垂直或面面垂直，本题利用面面垂直，即平面⊥底面转化为证或，利用平行四边形或等腰三角形三线合一得证。（2）第一种方法:向量法，以为原点建立空间直角坐标系，利用第二种方法:几何法，连接交于点，连接，则，所以就是异面直线与所成角，解三角形

试题解析：（Ⅰ）法一：为的中点，

又即

四边形为平行四边形，

即

又∵平面平面

且平面平面

平面

又平面，平面平面

法二：，，为的中点，且.

四边形为平行四边形，

∵ 即

∵

∵ ，⊥平面．∵ 平面，平面⊥平面．

（Ⅱ）∵，为的中点，

∴．

∵平面平面 且平面平面

∴平面．

如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，

，

∵是中点，∴

∴

设异面直线与所成角为

则

∴异面直线与所成角的余弦值为

法二、连接交于点，连接，则

所以就是异面直线与所成角

由（1）知平面，所以进而

考点：线面垂直定理与异面直线所成的角