Question

（12分）已知函数f(x)=x+ax+bx + 5,在曲线y=f(x)上的点P(1，f(1))处的切线与直线y=3x+2平行。

（1）若函数y=f(x)在x=-2时取得极值，求a、b的值；

（2）若函数y=f(x)在区间(-2，1)上单调递增，求b的取值范围。

Answer 1

解： （1）f′(x)=3x²+2ax+b,则f′(1)=3+2a+b=3即2a+b=0        ①

∵y=f(x)在x=-2时取得极值，故f′(-2)=0

∴-4a+b=-12                                                                             ②

∴a=2   b=-4

（2） f′(x)=3x²+2ax+b由2a+b=0

∴f′(x)=3x²-bx+b

依题意，f(x)在(-2，1)上单调递增，故f′(x)在(-2，1)上恒有f′(x)0

即3x²-bx+b≥0在(-2，1)上恒成立

法一：①当≥1即b≥6时，f′_小(x)=f′(1)=3-b+b≥0

∴b≥6

②当-2<<1即-12<b<6时，f′_小(x)= ≥0

即0 ≤b <6

③≤-2即b≤-12时，f′_小(x)= f′_小(-2)=12+2b+b≥0，

∴b≥-4,此时b不存在

综上可知，b的取值范围是b≥0

法二：即b≥-      (x∈(-2,1))恒成立

又当x∈(-2，1)时，∴1-x>0

又 - 

≤-(6-6)=0

∴只须b≥0

∴b的取值范围为b≥0