Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，P是面对角线AD₁上的动点，点P到BD的距离记为d，求d的最小值，并指出d取最小值时点P的位置．

Answer 1

分析：首先表示出d的线段，进而利用配方法可求．

解答：解：过P作PE⊥AD，垂足为D，作EF⊥BD，垂足为F，则PF表示P到BD的距离．
设DE=x，则PE=a-x，EF=

2

2

x，∴PF=

(a-x)2+ 1 2 x2

=

3 2 (x- 2 3 a)2+ a2 3

，
∴x=

2

3

a，即PA=

1

3

AD1时，dmin=

3

3

a．

点评：本题以正方体为载体，主要考查了棱柱的结构特征、点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，属于基础题．