Question

在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F：（x-2）²+y²=1的点的最小距离．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）已知过点F的直线与点M的轨迹交于A，B两点，且|AF|=8，求|BF|的长．

Answer 1

分析：（1）利用动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F：（x-2）²+y²=1的点的最小距离，建立方程，化简可得点M的轨迹方程；
（2）确定AB的方程，求出A，B的坐标，利用抛物线的定义，即可求得|BF|的长．

解答：解：（1）设动点M（x，y），则
∵动点M到直线x=-1的距离等于它到圆F：（x-2）²+y²=1的点的最小距离
∴|x+1|=

(x-2)2+(y-0)2-1

，…（3分）
化简得：6x-2+2|x+1|=y²，
当x≥-1时，y²=8x；                           …（5分）
当x＜-1时，y²=4x-4＜-8，不合题意．
所以点M的轨迹方程为：y²=8x．…（7分）
（2）抛物线的准线方程为x=-2．
过点A作准线的垂线AM，垂足为M，AM交y轴于点E，过点A作x轴垂线，垂足为H．
过点B作准线的垂线BN，垂足为N，
由抛物线的定义知：AF=AM=8．
因为ME=OF=2，所以AE=6，FH=4．
在Rt△AHF中，AF=8，FH=4，所以∠AFH=60°．…（10分）
直线AB的方程为y=

3

（x-2）代入y²=8x，可得
3x²-20x+12=0
∴x=6，或x=

2

3

∴A（6，4

3

），B（

2

3

，-

4 3

3

）．
∴BF=BN=

2

3

+2=

8

3

．           …（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，确定抛物线的方程是关键．