Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ，
∴S_n-1=3^n-1（n≥2）．
∴a_n=S_n-s_n=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1（n≥2）．
当n=1时，2•3⁰=2≠S₁=3，
∴ （4分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1）
∴b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
b₄-b₃=5，
…
b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）==（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n． （9分）
（Ⅲ）由题意得
当n≥2时，
T_n=-3+2•0×3+2•1×3²+…+2（n-2）×3^n-13T_n=-9+2•0×3²+2•1×3³+2•2×3⁴+…+2（n-2）×3ⁿ
相减得：-2T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）
T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）=
=
分析：（Ⅰ）由S_n=3ⁿ，可得S_n-1=3^n-1（n≥2）．利用递推公式，a_n=S_n-s_n可求
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+（2n-1）可得b_n-b_n-1=2n-3，利用叠加法可求
（Ⅲ）由（I）（II）可求，利用错误相减可求
点评：本题主要考查了利用递推公式a_n=S_n-s_n求解数列的通项公式，解决此类问题时要注意对n=1的检验；而叠加法求解数列的通项公式是数列通项公式求解中的重要方法．错误相减是数列求和中的重要方法，也是求和中的难点所在．