题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意t∈[ $数学公式$ ，2]，f（t）＞t恒成立，求实数a的取值范围．

解：（I）当a=1时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，2），单调递减区间为（2，+∞）．
（II）若对任意t∈[ $\text{[math]}$ ，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[ $\text{[math]}$ ，2]时， $\text{[math]}$ 恒成立，
即x∈[ $\text{[math]}$ ，2]时，a＞ $\text{[math]}$ 恒成立
设 $\text{[math]}$ ，x∈[ $\text{[math]}$ ，2]，则 $\text{[math]}$ ，x∈[ $\text{[math]}$ ，2]，
设 $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ＞0在x∈[ $\text{[math]}$ ，2]上恒成立
∴h（x）在x∈[ $\text{[math]}$ ，2]上单调递增
即 $\text{[math]}$ 在x∈[ $\text{[math]}$ ，2]上单调递增
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，2]有零点m
∴ $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，m]上单调递减，在（m，2]上单调递增
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴a＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（II）若对任意t∈[ $\text{[math]}$ ，2]，f（t）＞t恒成立，则x∈[ $\text{[math]}$ ，2]时， $\text{[math]}$ 恒成立，即x∈[ $\text{[math]}$ ，2]时，a＞ $\text{[math]}$ 恒成立，确定右边函数的最大值即可．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．