题目内容
已知函数F(x)=
，(x≠
)．
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(
)+F(
)+…+F(
)；
（Ⅱ）．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且
=F(n)．当m＞n时，比较
与
的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a1=2，数列{bn}的公差为d=2．探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式；若没有，请说明理由．
| 3x+1 |
| 2x-1 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(
| 1 |
| 2009 |
| 2 |
| 2009 |
| 2008 |
| 2009 |
（Ⅱ）．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且
| Sn |
| Tn |
| am |
| bm |
| an |
| bn |
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a1=2，数列{bn}的公差为d=2．探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式；若没有，请说明理由．
（Ⅰ）因为F(x)+F(1-x)=
+
=3（2分）
所以设S=F(
)+F(
)++F(
)；（1）
S=F(
)+F(
)++F(
)（2）
（1）+（2）得：2S={F(
)+F(
)}+{F(
)+F(
)}++{F(
)+F(
)}
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为S2n-1=
=
=(2n-1)an
所以an=
；同理bn=
．（7分）
所以
=
；
=
所以当m＞n≥1时，
-
=
-
=
-
=
-
=
=
＜0，∴
＜
（10分）
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a1=2，d=2时
=
=
=
所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=
+(n-1)×2=2n-
（12分）
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等，
即an=bk?3n-1=2k-
?n=
因为4k-1为奇数，6为偶数，所以n=
不是整数，
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项．（14分）
| 3x+1 |
| 2x-1 |
| 3(1-x)+1 |
| 2(1-x)-1 |
所以设S=F(
| 1 |
| 2009 |
| 2 |
| 2009 |
| 2008 |
| 2009 |
S=F(
| 2008 |
| 2009 |
| 2007 |
| 2009 |
| 1 |
| 2009 |
（1）+（2）得：2S={F(
| 1 |
| 2009 |
| 2008 |
| 2009 |
| 2 |
| 2009 |
| 2007 |
| 2009 |
| 2008 |
| 2009 |
| 1 |
| 2009 |
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为S2n-1=
| (a1+a2n-1)(2n-1) |
| 2 |
| (an+an)(2n-1) |
| 2 |
所以an=
| S2n-1 |
| 2n-1 |
| T2n-1 |
| 2n-1 |
所以
| an |
| bn |
| S2n-1 |
| T2n-1 |
| am |
| bm |
| S2n-1 |
| T2n-1 |
所以当m＞n≥1时，
| am |
| bm |
| an |
| bn |
| S2m-1 |
| T2m-1 |
| S2n-1 |
| T2n-1 |
| 3(2m-1)+1 |
| 2(2m-1)-1 |
| 3(2n-1)+1 |
| 2(2n-1)-1 |
=
| 6m-2 |
| 4m-3 |
| 6n-2 |
| 4n-3 |
| (6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3) |
| (4m-3)(4n-3) |
=
| 10(n-m) |
| (4m-3)(4n-3) |
| am |
| bm |
| an |
| bn |
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a1=2，d=2时
| Sn |
| Tn |
2n+
| ||
nb1+
|
| d1n-d1+4 |
| 2n-2+2b1 |
| 3n+1 |
| 2n-1 |
所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等，
即an=bk?3n-1=2k-
| 3 |
| 2 |
| 4k-1 |
| 6 |
因为4k-1为奇数，6为偶数，所以n=
| 4k-1 |
| 6 |
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项．（14分）
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