Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设向量=（2a，b），=（a，-3b），且⊥，（+）•（-+）=14，求a，b，c．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据lga+lgcosA=lgb+lgcosB，整理可知acosA=bcosB，进而利用正弦定理把边转化成角的正弦，利用二倍角公式化简求得sin2A=sin2B．根据a≠b推断出A≠B，进而求得即判断出△ABC为直角三角形．
（2）根据⊥n，把向量的坐标代入求得2a²-3b²=0，进而根据，（+）•（-+）=14，求得a和b的另一关系式，进而联立方程求得a和b，进而用勾股定理求得c．
解答：解：（1）由题lga+lgcosA=lgb+lgcosB，故acosA=bcosB，
由正弦定理sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
又cosA＞0，cosB＞0，故，2A，2B∈（0，π）
因a≠b⇒A≠B，故2A=π-2B．
即，故△ABC为直角三角形
（2）由于 ⊥，所以2a²-3b²=0①
且（+）•（-+）=²-²=14，即8b²-3a²=14②
联立①②解得a²=6，b²=4，故在直角△ABC中，
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．