Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；      
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC?平面AC，知PA⊥BC，由∠ACB=90°，知BC⊥AC，由此能够证明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，故AE⊥AB，由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AE，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-PC-A的正切值．
（Ⅲ）设M（x，y，z），，则（x，y，z-）=m（），解得点M（），由此能够推导出当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面AC，∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，，0，0），P（0，0，），C（，，0），D（，-，0）

∴=（0，0，），=（，0），，，
设平面PAC的一个法向量，则，
∴，∴．
设平面PDC的一个法向量，则，，
∴，∴，
设二面角D-PC-A的平面角为θ，
∴cosθ=|cos＜＞|=||=||=，
故二面角D-PC-A的正切值为2．
（Ⅲ）设M（x，y，z），，
则（x，y，z-）=m（），
解得点M（），即=（），
由sinθ=，得m=1（不合题意舍去）或m=，
所以当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查满足条件的点的位置的探索．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用．