题目内容
已知直线y=-4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l1，动点P在直线l1上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点 ），记点 P的轨迹为C
（1）求曲线C的方程
（2）过点A（-4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且
+
=
，求直线l2的方程．
（1）求曲线C的方程
（2）过点A（-4，0）作直线l2与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且
| 1 |
| |AM| |
| 1 |
| |AN| |
| 3 |
| |AR| |
分析：（1）设P（x，y），可得Q（x，-4），根据垂直直线的斜率之积为-1，利用直线的斜率公式列式，化简即可得到曲线C的方程；
（2）设直线l2方程为y=k（x+4），与抛物线消去x得
y2-（
+4）y+16=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得到y1+y2=4k2+8k，y1y2=16k2．然后将
+
=
转化为关于y1、y2和k的等式，代入前面证出的关系式化简得到关于k的方程，解出k值即可得到直线l2的方程．
（2）设直线l2方程为y=k（x+4），与抛物线消去x得
| 1 |
| k2 |
| 8 |
| k |
| 1 |
| |AM| |
| 1 |
| |AN| |
| 3 |
| |AR| |
解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-4）．
∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1．
当x≠0时，得
•
=-1，化简得x2=4y．
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
综上所述，曲线C的方程为x2=4y（x≠0）；
（2）设直线l2的方程为y=k（x+4），（k＞0）
由
消去x，得
y2-（
+4）y+16=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4k2+8k，y1y2=16k2．
设直线l2的倾斜角为α，则|AM|=
，|AN|=
，|AR|=
=
∵
+
=
，∴
+
=
，
化简得
=
，即
=
，解之得k=1，
因此，直线l2的方程为y=x+4．
∵OP⊥OQ，∴kOP•kOQ=-1．
当x≠0时，得
| y |
| x |
| -4 |
| x |
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
综上所述，曲线C的方程为x2=4y（x≠0）；
（2）设直线l2的方程为y=k（x+4），（k＞0）
由
|
| 1 |
| k2 |
| 8 |
| k |
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4k2+8k，y1y2=16k2．
设直线l2的倾斜角为α，则|AM|=
| y1 |
| sinα |
| y2 |
| sinα |
| |OR| |
| sinα |
| 4k |
| sinα |
∵
| 1 |
| |AM| |
| 1 |
| |AN| |
| 3 |
| |AR| |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 3 | ||
|
化简得
| y1+y2 |
| y1y2 |
| 3 |
| 4k |
| 4k2+8k |
| 16k2 |
| 3 |
| 4k |
因此，直线l2的方程为y=x+4．
点评：本题给出动点满足的条件，求轨迹方程并求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、抛物线的简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
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