Question

设命题p：f（x）=a^x是减函数，命题q：关于x的不等式x²+x+a＞0的解集为R，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质及一元二次不等式恒成立的条件，我们可以分别求出命题p：f（x）=a^x是减函数，命题q：关于x的不等式x²+x+a＞0的解集为R，为真命题时，参数a的取值范围，再由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，得到p，q恰好一真一假，分类讨论后，即可得到答案．

解答：解：若命题p：f（x）=a^x是减函数真命题，则0＜a＜1，
若命题q：关于x的不等式x²+x+a＞0的解集为R，为真命题，则1-4a＜0，则a＞

1

4

又∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q恰好一真一假
当命题p为真命题，命题q为假命题时，0＜a≤

1

4

；
当命题p为假命题，命题q为真命题时，a≥1
故满足条件的实数a的取值范围是(0，

1

4

]∪[1，∞)
故答案为：(0，

1

4

]∪[1，∞)

点评：复合命题p且q、p或q 的真假可记为：p且q 是一假即假；p或q 是一真即真．