Question

【题目】函数，其图象与轴交于， 两点，且.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）证明： （为的导函数）.

（Ⅲ）设点在函数图象上，且为等腰直角三角形，记，求的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）详见解析;（3）

【解析】试题分析：（1）根据题意图象与轴交于， 两点，由零点的定义可得：函数的图象要与x轴有两个交点，而此函数的特征不难发现要对它进行求导，运用导数与函数的关系进行求函数的性质，即： ，a的正负就决定着导数的取值情况，故要对a进行分类讨论：分和两种情况，其中显然不成立， 时转化为函数的最小值小于零，即可求出a的范围; （2）由图象与轴交于， 两点，结合零点的定义可得： 整理可得： ，观察其结构特征，可想到整体思想，即： ，目标为： ，运用整体代入化简可得： ，转化为对函数进行研究，运用导数知识不难得到，即： ，故而是单调增函数，由不等式知： ，问题可得证; （3）由题意有，化简得，而在等腰三角形ABC中，显然只有C= 90°，这样可得，即，结合直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，运用代数式知识处理可得： ，而，所以，即，所求得

试题解析：（1）．

若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．

所以，令，则．

当时， ， 是单调减函数； 时， ， 是单调增函数；

于是当时， 取得极小值．

因为函数的图象与轴交于两点， (x1＜x2)，

所以，即

此时，存在；

存在 ，

又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围.

（2）因为两式相减得

记，则，

设，则，所以是单调减函数，

则有，而，所以．

又是单调增函数，且

所以．

（3）依题意有，则．

于是，在等腰三角形ABC中，显然C= 90°， 13分

所以，即，

由直角三角形斜边的中线性质，可知，

所以，即，

所以，

即．

因为，则，

又，所以，

即，所以