Question

若直线y=x+b与曲线y=2-

6x-x2

有公共点，则b的取值范围是（　　）

• A．[-1-3

  2

  ，-1+3

  2

  ]
• B．[-1-3

  2

  ，2]
• C．[2，-1+3

  2

  ]
• D．[-4，2]

Answer 1

分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足有公共点，有三种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，第三种情况是直线与曲线有两个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围

解答：解：∵曲线y=2-

6x-x2

表示圆（x-3）²+（y-2）²=9的下半圆
若直线y=x+b与曲线y=2-

6x-x2

有公共点，根据图象可知
当直线过A（0，2）时满足条件，此时2=b
当直线y=x+b与半圆相切时，由圆心（3，2）到直线y=x+b的距离d=

|3-2+b|

2

=

|1+b|

2

=3
此时b=-1-3

2

，b=-1+3

2

（舍去）
结合图形可知，当直线与曲线有公共点时，-1-3

2

≤b≤2
故选B

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用．