Question

已知函数f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，又当x∈[

1

4

，

1

2

]时，f(x)≥

1

8

.
（1）求a的值；
（2）设0＜a1＜

1

2

，an+1=f(an)，n∈N+．证明an＜

1

n+1

.

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，求得a²的范围，再由第二个条件即可得到a的值
（2）由第一问a的值确定f（x）的解析式，然后利用数学归纳法证明该不等式．

解答：解：（1）由于f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，所以f(

a

3

)=

a2

6

≤

1

6

，即a²≤1.①
又x∈[

1

4

，

1

2

]时f(x)≥

1

8

，所以

f( 1 2 )≥ 1 8 f( 1 4 )≥ 1 8

即

a 2 - 3 8 ≥ 1 8 a 4 - 3 32 ≥ 1 8 .

解得a≥1．②
由①②得a=1．
（2）由（1）知f（x）=x-

3

2

x2
①当n=1时，0＜a1＜

1

2

，不等式0＜an＜

1

n+1

成立；
因f(x)＞0，x∈(0，

2

3

)，所以0＜a2=f(a1)≤

1

6

＜

1

3

，故n=2时不等式也成立．
②假设n=k（k≥2）时，不等式0＜ak＜

1

k+1

成立，因为f(x)=x-

3

2

x2的对称轴为x=

1

3

，
知f（x）在[0，

1

3

]为增函数，所以由0＜a1＜

1

k+1

≤

1

3

得0＜f(ak)＜f(

1

k+1

)
于是有0＜ak+1＜

1

k+1

-

3

2

•

1

(k+1)2

+

1

k+2

-

1

k+2

=

1

k+2

-

k+4

2(k+1)2(k+2)

＜

1

k+2

，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①②可知，对任何n∈N^*，不等式an＜

1

n+1

成立．

点评：本题是道难题，考查了二次函数的性质以及函数与数列的综合问题，在证明第二问的不等式式注意数学归纳法的应用．