Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数）．
（Ⅰ）若f（-1）=0，x∈R，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设a=1，记f（x）在（-∞，0]的最小值为g（b），求g（b）．

Answer 1

分析：（I）由f（-1）=0，确定a，b的一个关系，再由函数f（x）的值域为[0，+∞），在轴处取得0，再得到a，b的一个关系，列方程组求得a，b．
（II）将a=1代入，并将函数转化f(x)=x2+bx+1=(x+

b

2

)2+1-

b2

4

找到其对称轴，再按照二次函数最值的研究方法讨论．

解答：解：（I）依题有

a-b+1=0 4a-b2 4a =0

?a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1（6分）
（II）f(x)=x2+bx+1=(x+

b

2

)2+1-

b2

4

（8分）
当-

b

2

≤0即b≥0时，fmin(x)=f(-

b

2

)=1-

b2

4

；
当-

b

2

＞0即b＜0时，f_min（x）=f（0）=1
综上述f（x）在（-∞，0]上的最小值为g(b)=

1       b＜0 1- b2 4 b≥0

（12分）

点评：本题主要考查解析式的求法和二次函数最值的求法．