Question

设函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间
（2）当x∈[0，

π

3

]时，求f(x)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得2sin（2x+

π

6

）+1，再结合正弦函数单调区间的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）根据题意，得到2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，再结合正弦函数图象在区间[

π

6

，

5π

6

]上的单调性，即可得到f（x）在区间[0，

π

3

]上的最大值．

解答：解：（1）∵cos²x=

1

2

（cos2x+1），
∴f(x)=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1…．（2分）
因此，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…．（4分）
令

2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2

，解得

kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6

，（k∈Z）
∴函数的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（2）当x∈[0，

π

3

]时，即2x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]
由此可得当2x+

π

6

=

π

2

时，[f（x）]_max=2+1=3
∴x=

π

6

时，f（x）的最大值为3…（12分）

点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．