Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f(x)=(

1

2

)|x-m|．
（1）求m的值；
（2）设函数g（x）=log₂x，判断函数F（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0得f（0）=f（2），代入函数解析式求出m的值；
（2）根据条件求出函数f（x）的周期为2，在同一个坐标系中，做出函数f（x）与函数g（x）的图象，根据两个图象的交点个数，判断出函数F（x）=f（x）-g（x）零点的个数．

解答：解：（1）令x=0代入f（x+2）=f（x），得f（0）=f（2），
即(

1

2

)|m|=(

1

2

)|2-m|，解得m=1；
（2）由（1）知，f(x)=(

1

2

)|x-1|，
∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的周期为2，
下面在同一个坐标系中，做出函数f（x）与函数g（x）的图象，

有图知，函数f（x）与函数g（x）的图象的交点个数只有一个，
故函数F（x）=f（x）-g（x）零点的个数为1个．

点评：本题主要考查了函数的零点与函数图象交点个数之间的转化，以及数形结合思想和作图能力．