Question

已知f(x)=

lnx

x

．
（I）讨论f（x）的单调性，并求出f（x）的最大值；
（II）求证：f(x)≤1-

1

x

；
（III）比较f（2²）+f（3²）+…f（n²）与

(2n+1)(n-1)

2(n+1)

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：对于（I）讨论f（x）的单调性，求f（x）的最大值问题，可先求出函数f(x)=

lnx

x

的导函数，根据导函数的零点讨论极值，根据导函数的大于零或小于零，讨论函数的单调性问题．
对于（II）求证f(x)≤1-

1

x

，可以考虑把f(x)=

lnx

x

代入移向转化为考查函数g（x）=lnx-x+1≤0的问题，再根据导函数求极值的方法证得即可．
对于（III）比较f（2²）+f（3²）+…f（n²）与

(2n+1)(n-1)

2(n+1)

的大小，分析由（2）证得f(x)≤1-

1

x

，从而f(n2)≤1-

1

n2

，故可求出f（2²）+f（3²）+…f（n²）的小于等于一个关于n的式子．再根据

1

n2

＞

1

n(n+1)

化简即可证得大小．

解答：解：（I）f′(x)=

1-lnx

x2

，
令f'（x）＞0，得x＜e，令f'（x）＜0得x＞e．
又f（x）的定义域为（0，+∞），∴f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，
从而f(x)max=f(e)=

1

e

．
（II）要证f(x)≤1-

1

x

即证

lnx

x

≤1-

1

x

，
∵x＞0，∴只需证：lnx-x+1≤0．
令g（x）=lnx-x+1，则g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
令g'（x）＞0，得0＜x＜1，g'（x）＜0得x＞1（x＜0舍去）．
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）≤g（1）=0，∴lnx-x+1≤0成立，
即f(x)≤1-

1

x

成立．
（III）由（2）知，f(x)≤1-

1

x

，从而f(n2)≤1-

1

n2

，
∴f(22)+f(32)+…+f(n2)≤1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)．
又

1

n2

＞

1

n(n+1)

，
∴f(22)+f(32)+…+f(n2)＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

(2n+1)(n-1)

2(n+1)

，
即答案为f(22)+f(32)+…+f(n2)＜

(2n+1)(n-1)

2(n+1)

．

点评：此题主要考查函数单调性和极值的求法问题，其中涉及到由导函数求函数极值知识点，此类知识点属于高考重点常考题型，综合性强，计算大，易错同学们需要多加注意．