Question

若实数x，y满足x²+y²-1=0，则z=

2x+y+3

x+2

的取值范围是（　　）

• A．[

  2

  3

  ，2]
• B．[2，

  10

  3

  ]
• C．[0，

  4

  3

  ]
• D．[-

  4

  3

  ，0]

Answer 1

分析：方程x²+y²-1=0表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，z=

2x+y+3

x+2

=2+

y-1

x+2

，其中

y-1

x+2

表示点（x，y）与（-2，1）连线的斜率，利用直线与圆相切，可求z=

2x+y+3

x+2

的取值范围．

解答：解：∵实数x，y满足x²+y²-1=0，
∴方程x²+y²-1=0表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆
z=

2x+y+3

x+2

=2+

y-1

x+2

，其中

y-1

x+2

表示点（x，y）与（-2，1）连线的斜率
设过点（-2，1）的直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0
∴圆心到直线的距离为d=

|2k+1|

k2+1

令d=

|2k+1|

k2+1

=1，
∴k=0或k=-

4

3

∴-

4

3

≤

y-1

x+2

≤0
∴

2

3

≤2+

y-1

x+2

≤2
∴

2

3

≤z≤2
故选A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查求取值范围，解题的关键是利用

y-1

x+2

表示点（x，y）与（-2，1）连线的斜率．