题目内容
已知函数
．当x=2时，函数f（x）取得极值．
（I）求实数a的值；
（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m=0有两个根，求实数m的取值范围．
．当x=2时，函数f（x）取得极值．（I）求实数a的值；
（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m=0有两个根，求实数m的取值范围．
解：（I）由 
，则 f'（x）=x2+2ax+6
因在x=2时，f（x）取到极值
所以f'（2）=0
4+4a+6=0 解得
，
（II）由（I）得
且1≤x≤3
则f'（x）=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）
由f'（x）=0，解得x=2或x=3；
f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；
f'（x）＜0，解得2＜x＜3
∴f（x）的递增区间为：（﹣∞，2）和（3，+∞）； f（x）递减区间为：（2，3）
又
要f（x）+m=0有两个根，则f（x）=﹣m有两解，
分别画出函数y=f（x）与y=﹣m的图象，
如图所示．由图知，实数m的取值范围：
．
，则 f'（x）=x2+2ax+6 因在x=2时，f（x）取到极值
所以f'（2）=0
4+4a+6=0 解得， （II）由（I）得
且1≤x≤3 则f'（x）=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）
由f'（x）=0，解得x=2或x=3；
f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；
f'（x）＜0，解得2＜x＜3
∴f（x）的递增区间为：（﹣∞，2）和（3，+∞）； f（x）递减区间为：（2，3）
又
要f（x）+m=0有两个根，则f（x）=﹣m有两解，
分别画出函数y=f（x）与y=﹣m的图象，
如图所示．由图知，实数m的取值范围：
． 
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