题目内容
在△ABC中，向量
=（2cosB，1），向量
=（1-sinB，-1+sin2B），且满足|
+
|=|
-
|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．
分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，根据已知等式列出关系式，整理求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出A+C的度数，表示出C，代入所求式子，利用和差化积公式化简，根据A的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的值域即可确定出范围．
（Ⅱ）由B的度数求出A+C的度数，表示出C，代入所求式子，利用和差化积公式化简，根据A的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的值域即可确定出范围．
解答：解：（Ⅰ）∵向量
=（2cosB，1），向量
=（1-sinB，-1+sin2B），且满足|
+
|=|
-
|，
∴（2cosB+1-sinB）2+（sin2B）2=（2cosB-1+sinB）2+（2-sin2B）2，
整理得：cosB=
，
∵B为三角形内角，∴B=
；
（Ⅱ）∵B=
，∴A+C=
，即C=
-A，
∴sinA+sinC=sinA+sin（
-A）=2sin
cos（A-
）=
cos（A-
），
∵0＜A＜
，∴-
＜A-
＜
，
∴
＜cos（A-
）＜1，
则sinA+sinC取值范围是（
，
）．
| m |
| n |
| m |
| n |
| m |
| n |
∴（2cosB+1-sinB）2+（sin2B）2=（2cosB-1+sinB）2+（2-sin2B）2，
整理得：cosB=
| 1 |
| 2 |
∵B为三角形内角，∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sinA+sinC=sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
则sinA+sinC取值范围是（
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目