Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x，
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，从而可求f（x）的周期；
（2）利用正弦函数的性质可求f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1的值域；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴其周期T=

2π

2

=π；
（2）∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）+1≤3，即f（x）的值域为[-1，3]；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z）．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的周期性、单调性与值域，属于中档题．