Question

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为

1

8

a³

．

Answer 1

分析：设第六条棱的长为x，建立体积关于x的函数，求最大值即可．

解答：解：如图所示，
在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连接BP，EP，CP，
易证AD⊥平面BPC，所以V _A-BCD=

1

3

S△BPC×AD=

1

3

×

1

2

×a×

a2- x2 4 - a2 4

×x=

1

12

a×

(3a2-x2)x2

=

1

12

a×

-(x2- 3a 2 )2+ 9a4 4

≤

1

8

a³，
当且仅当x2=

3

2

a2，即x=

6

2

a时取等号．
故答案为：

1

8

a³，

点评：本题考查几何体体积、函数最值求解，关键是建立函数关系式．