Question

(本小题满分12分)已知两点，直线，在直线上求一点.
（1）使最小； （2）使最大.  

Answer 1

（1）直线A₁B与的交点可求得为,由平面几何知识可知最小.（2）直线AB与的交点可求得为，它使最大.

试题分析：（1）要使得点P到点A,B的距离和最小，则利用两边之和大于等于第三边，结合对称性，做一个点A，（或者B）的关于直线的对称点A’（,或者B’），然后连接A’B与直线相交的交点即为所求的最小值的点P的位置。通过等价转化得到结论。
（2）而要求解的最大值，则利用两点在直线的同侧，可以连线，延长与直线相交，结合两边之差小于等于第三边，当三点共线的时候满足最大值得到结论。
解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于的对称点A₁的坐标为（x₁，y₁）.
则有﹍﹍﹍﹍﹍2分     
解得 ﹍﹍﹍﹍4分
由两点式求得直线A₁B的方程为，            ﹍﹍﹍﹍5分
直线A₁B与的交点可求得为                     ﹍﹍﹍﹍6分
由平面几何知识可知最小.
（2）由两点式求得直线AB的方程，即.﹍﹍﹍﹍8分
直线AB与的交点可求得为，它使最大.        ﹍﹍﹍﹍12分
点评：解决该类最值问题，一般要转换为三点共线的特殊情况来得到。