题目内容

已知函数f（x）=-x³+ax²-4
（1）若f（x）在 $数学公式$ 处取得极值，求函数f（x）的单调区间．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），时，使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，由题意得 $\text{[math]}$ ，解得a=2，此时 $\text{[math]}$ ，
可知函数在（0， $\text{[math]}$ ）上，f′（x）＞0，函数单调增，在（-∞，0）， $\text{[math]}$ 上，f′（x）＜0，函数单调减，
所以函数单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ），函数单调减区间为（-∞，0）， $\text{[math]}$ ．
（2）根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有解即可．
令 $\text{[math]}$ ，只需要a＞g（x）_min
而 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ ，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
分析：（1）先求函数的导数，再利用导数与极值的关系，即可求出a的值，从而可求函数f（x）的单调区间．
（2）存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，即-x³+ax²-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即不等式 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上有解即可，从而令 $\text{[math]}$ ，只需要a＞g（x）_min，转化为求函数的最小值．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，体现了转化的思想方法．其中问题（2）转化为不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解，再利用分离参数法是解题的关键．