Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差 d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{

bn

an

}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b_n}的通项公式T_n．

Answer 1

分析：（I）根据题意利用等差数列的通项与求和公式，建立关于首项a₁和d的方程组，解出数列{a_n}的首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）根据等比数列的通项公式，结合（I）的结论算出b_n=（2n+1）•3^n-1，再根据错位相减法利用等比数列的求和公式，即可算出数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

解答：解：（I）根据题意，可得

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 4×5 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，

a1=3 d=2

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
（II）

bn

an

=3n-1，bn=an•3n-1=（2n+1）•3^n-1
T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1，
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
两式相减，得-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+6•

1-3n-1

1-3

-（2n+1）•3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=n•3ⁿ．

点评：本题给出等差数列满足的条件，求它的通项公式并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差数列的通项与求和、等比数列的通项与求和公式和错位相减法求数列的前n项和等知识，属于中档题．