Question

已知函数f(x)=1-cosx+sin(x+

π

6

)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）记△ABC得内角A，B，C的对应边为a，b，c，若f(A)=1，a=1．c=

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）解析式第三项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由f（A）=1及第一问确定的函数解析式，根据A为三角形的内角，得到这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，得到cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=1-cosx+sin（x+

π

6

）
=1-cosx+

3

2

sinx+

1

2

cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1
=sin（x-

π

6

）+1，
∵ω=1，
∴T=2π；
（Ⅱ）由f（A）=1，得到sin（A-

π

6

）+1=1，即sin（A-

π

6

）=0，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

π

6

，又a=1，c=

3

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：1=b²+3-3b，
解得：b=1或b=2．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．