Question

用数学归纳法证明下面的等式
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1·n²=（-1）^n-1·。

Answer 1

解：（1）当n=1时，左边=1²=1
右边=（-1）⁰·
∴原等式成立。
（2）假设n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，
即有1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1·k²=（-1）^k-1·
那么，当n=k+1时，则有
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1·k²+（-1）^k（k+1）²
=（-1）^k-1·+（-1）^k·（k+1）²


∴n=k+1时，等式也成立，
由（1）（2）得对任意n∈N*有
1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1·n²=（-1）^n-1·。