Question

由某种设备的使用年限x_i（年）与所支出的维修费y_i（万元）的数据资料，算得

5

i=1

x

2 i

=90，

5

i=1

xiyi=112，

5

i=1

xi=20，

5

i=1

yi=25．
（Ⅰ）求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）估计使用年限为8年时，支出的维修费约是多少．
附：在线性回归方程y=bx+a中，b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n -2 x

，a=

.

y

-b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

为样本平均值，线性回归方程也可写为

y

=

b

x+

a

．

Answer 1

分析：（I）利用公式求得

.

x

，

.

y

代入系数公式可得a，b的值，从而求得回归方程；
（II）根据系数b＞0可得变量x与y之间是正相关；
（III）根据回归方程代入x=8，求得y值，即为估计支出的维修费数额．

解答：解：（Ⅰ）∵

5

i=1

x_i=20，

5

j=1

y_j=25，∴

.

x

=4，

.

y

=5．
∴b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n -2 x

=

112-5×4×5

90-5×42

=1.2，
a=

.

y

-b

.

x

=5-1.2×4=0.2，
∴线性回归方程y=1.2x+0.2．            
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=1.2＞0，
∴变量x与y之间是正相关．              
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当x=8时，y=1.2×8+0.2=9.8（万元），
即估计使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．

点评：本题考查了回归分析思想，利用数据求系数a、b的值是关键．