题目内容
（2007•无锡二模）已知点A，B，C都在椭圆
+
=1(a＞b＞0)上，AB、AC分别过两个焦点F1、F2，当
•
=0时，有
•
=
2成立．
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设
=m
，
=n
．当点A在椭圆上运动时，求证m+n始终是定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
. |
| AC |
. |
| F1F2 |
. |
| AF1 |
. |
| AF2 |
| 1 |
| 9 |
. |
| AF1 |
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设
| AF1 |
| F1B |
| AF2 |
| F2C |
分析：（1）欲求椭圆的离心率，只需得到a，c的齐次式，根据当
•
=0时，有
•
=
2成立，以及椭圆定义，即可得到．
（2）由（1）中求得的椭圆的离心率，可把椭圆化简成只有一个参数的形式，求出焦点F1，F2坐标，设出直线AC的方程，与椭圆方程联立，再根据
=m
，
=n
，分别用参数的式子表示m，n，计算m+n，消去参数，可得一定值，问题得证．
. |
| AC |
. |
| F1F2 |
. |
| AF1 |
. |
| AF2 |
| 1 |
| 9 |
. |
| AF1 |
（2）由（1）中求得的椭圆的离心率，可把椭圆化简成只有一个参数的形式，求出焦点F1，F2坐标，设出直线AC的方程，与椭圆方程联立，再根据
| AF1 |
| F1B |
| AF2 |
| F2C |
解答：解：（1）当
•
=0时，
•
cos∠F1AF2=|
|2=
274
∴3|
|=|
|．
由椭圆定义，得|
|+|
|=2a，
∴|
|=
，|
|=
．
在Rt△AF1F2中，∵|
|2-|
|2=|F1F2|2，
∴
-
=4c2．∴e=
=
．
（2）由e=
，得
=
=
，∴b=c．
椭圆方程化为
+
=1，即x2+2y2=2b2．
焦点F1（-b，0），F2（b，0），
设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）．
①当直线AC的斜率存在时，直线AC的方程为y=
(x-b)．
代入椭圆方程，得（3b2-2bx0）y2+2by0（x0-b）y-b2y02=0．
∴y0y2=-
，则y2=-
．
∴n=
=
=
．
同理可得m=
．
②当直线AC的斜率不存在时，n=1，m=
=5，m+n=6．
综上所述，m+n是定值6.2
| AC |
| F1F2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF2 |
| 1 |
| 9 |
| AF1 |
∴3|
| AF2 |
| AF1 |
由椭圆定义，得|
| AF2 |
| AF1 |
∴|
| AF1 |
| 3a |
| 2 |
| AF2 |
| a |
| 2 |
在Rt△AF1F2中，∵|
| AF1 |
| AF2 |
∴
| 9a2 |
| 4 |
| a2 |
| 4 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
（2）由e=
| ||
| 2 |
| b |
| a |
| 1-e2 |
| ||
| 2 |
椭圆方程化为
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
焦点F1（-b，0），F2（b，0），
设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）．
①当直线AC的斜率存在时，直线AC的方程为y=
| y0 |
| x0-b |
代入椭圆方程，得（3b2-2bx0）y2+2by0（x0-b）y-b2y02=0．
∴y0y2=-
b2
| ||
| 3b2-2bx0 |
| by0 |
| 3b-2x0 |
∴n=
| |AF2| |
| |F2C| |
| y0 |
| -y2 |
| 3b-2x0 |
| b |
同理可得m=
| 3b+2x0 |
| b |
②当直线AC的斜率不存在时，n=1，m=
| 3b+2b |
| b |
综上所述，m+n是定值6.2
点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及直线和椭圆联立，韦达定理得应用．
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