题目内容
已知函数f（x）=lnx-ax2-（2-a）x。
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜
时，f（
+x）＞f（-x）；
（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（ x0）＜0。
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜
时，f（+x）＞f（-x）；（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（ x0）＜0。
解：（1）f（x）的定义域为
（i）若
，则
，所以f（x）在
单调增加
（ii）若
，则由
得
且当
时，
当
时，
所以
在
单调增加
在
单调减少；
（2）设函数
则
当
时，
而
所以
故当
时，
；
（3）由（1）可得，当
时，函数y=f（x）的图像与x轴至多有一个交点，
故
，从而
的最大值为
，且
不妨设
则
由（2）得
从而
于是
由（1）知，
。
（i）若
，则，所以f（x）在单调增加（ii）若
，则由得且当
时，当
时，所以
在单调增加在
单调减少；（2）设函数
则
当
时，而
所以
故当
时，；（3）由（1）可得，当
时，函数y=f（x）的图像与x轴至多有一个交点，故
，从而的最大值为，且不妨设
则
由（2）得
从而
于是
由（1）知，
。
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