Question

素材1：仪器价格P定在215元时，仪器厂的供应量S为3 425台.仪器价格P每提高40元，仪器厂就多生产并增加供应280台.

素材2：销售收入=价格×销售量.

素材3：仪器价格P为200元时，需求量Q为3 000台.仪器价格P每提高20元，需求量Q就减少500台.

先将上面的素材构建成一个问题，然后再解答.

构建问题：某电子仪器厂打算生产某种仪器，经市场调查，当该仪器价格P为200元时，需求量Q为3 000台.若该仪器价格P每提高20元，需求量Q就减少500台；当仪器价格P定在215元时，仪器厂的供应量S为3 425台. 仪器价格P每提高40元，仪器厂就多生产并增加供应280台.试问：

（1）价格P为多少时，销售收入R最多？（销售收入=价格×销售量）

（2）需求量Q为多少时，达到供求平衡？（指供应量=需求量）此时销售收入是多少？

Answer 1

解析：（1）依题意，销售量即需求量Q是价格P的一次函数，其图象是斜率为负的直线.由点斜式，得

    Q-3 000=（P-200）,

即Q=-25P+8 000（0＜P＜320），如图中的l₁,

∴R=P·Q

=P·（-25P+8 000）

=-25（P-160）²+640 000.

又∵160∈(0,320),

∴当P=160时，R有最大值640 000.

故价格为160元时，销售收入最多为640 000元.

（2）供应量S也是价格的一次函数，其图象是斜率为正的直线，由点斜式，得

S-3 425=（P-215），

即S=7P+1 920.

如图中的l₂，

∵ 供求平衡，

∴S=7P+1 920=-25P+8 000=Q.

∴ P=190，此时Q=3 250，R=P·Q=617 500.

故需求量为3 250台时，达到供求平衡，此时销售收入为617 500元.

温馨提示

    这是一道供求问题，本题已给出有关量的关系式，解本题的突破点是依据提供的信息，建立供应量S或需求量Q是价格P的一次函数的数学模型，并联系二次函数求最值等知识解题.