Question

已知函数f(x)＝ax－－2lnx．(a∈R)

(1)若a＝2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若a＞0且函数f(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

(3)若函数y＝f(x)在x∈(0，3)存在极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若， 　　　1分 　　直线斜率＝2，切点为(1，0) 　　所以曲线在点处的切线方程：　3分 　　(2)，　4分 　　∵在定义域内是增函数，∴在内恒成立 　　即在上恒成立　5分 　　(法一)即在上恒成立 　　∴，设　6分 　　则 　　∵，∴，当且仅当时取等号　7分 　　∴，即，∴ 　　所以实数的取值范围是　8分 　　(法二)令， 　　∵在定义域内是增函数，∴在内恒成立．　6分 　　由题意，的图象为开口向上的抛物线， 　　对称轴方程为，∴，　7分 　　∴， 　　解得 　　∴实数的取值范围是．　8分 　　(3)(法一)∵，令即　9分 　　设 　　当时，方程()的解为，此时在无极值， 　　所以； 　　当时，的对称轴方程为 　　①若在恰好有一个极值 　　则，解得 　　此时在存在一个极大值；　11分 　　②若在恰好两个极值，即在有两个不等实根 　　则或，解得　13分 　　综上所述，当时，在存在极值．　14分 　　(法二)∵，令即 　　由得　9分 　　令 　　 　　当且仅当时等号成立．　11分 　　∵ 　　∴　12分 　　又∵时，在上恒成立 　　∴不满足条件， 　　∴当时，在存在极值．　14分 　　(注：其它解法给相应分数)