Question

已知函数f ( x )=-acos2x-2

3

asinxcosx+2a+b的定义域为[0  ， 

π

2

]，值域为[-5，1]，求常数a，b的值．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式化简f（x）解析式，由根据函数f（x）的定义域求出f（x）的范围，结合所给的值域，用待定系数法求出常数a，b的值．

解答：解：∵f ( x )=-acos2x-2

3

asinxcosx+2a+b=-acos2x-

3

asin2x+2a+b=-2asin（

π

6

+2x）+2a+b，
又∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤

π

6

+2x≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（

π

6

+2x）≤1，
当a＞0时，∵-2a≤-2asin（

π

6

+2x）≤a，∴-2a+2a+b≤f（x）≤a+2a+b，
即 b≤f（x）≤3a+b，∴

b=-5 3a+b=1

，∴a=2，b=-5．
当a＜0时，a≤-2asin（

π

6

+2x）≤-2a，∴a+2a+b≤f（x）≤-2a+2a+b，即3a+b≤f（x）≤b，

3a+b=-5 b=1

，∴a=-2，b=1．  
综上，a=2，b=-5；  或 a=-2，b=1．

点评：本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域、值域，体现了分类讨论的数学思想．根据函数f（x）的定义域求出f（x）的范围，是解题的关键，属于中档题．