Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，在处取得极值，求函数的单调区间；

（2）若时，函数有两个不同的零点，

①求的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）减区间为，增区间为．（Ⅱ）①②详见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由极值定义可得，从而可解得．再根据导函数零点讨论导函数符号，结合导函数符号可得函数单调区间，（Ⅱ）①先利用导数分析函数单调性，即函数为非单调函数，导函数必有零点，再根据函数单调变化规律得函数最大值必大于零，又端点函数值趋于负无穷，根据零点存在定理可得函数必有两个零点，最后解最大值大于零时的取值范围,②等价于,由零点条件得，，两式相加与相减再相除消去得,因此转化为证明,即需证明,令,构造函数,再利用导数研究函数单调性,得,即可得到结论.

试题解析：（Ⅰ）解：由已知得，

所以，所以．

所以．

则，

由得，由得．/span>

所以的减区间为，增区间为．

（Ⅱ）①解：由已知．

所以，

当时，显然恒成立，此时函数在定义域内递增，至多有一个零点，不合题意．当时，令得，

令得；

令得．

所以极大值为，解得．

且时，，时，．

所以当时，有两个零点．

②证明：，为函数的两个零点，不妨设．

所以，，

两式相减得，两式相加得．

要证，即证，

即证，即证．

令，即证．

令，则，

所以，即，

所以，所以．